Chapitre 2 - L’électromagnétisme justification mathématique

Représentations mathématiques de l’électromagnétisme

Représentation classique

Dans cette représentation, le champ électromagnétique n’est représenté que par ses composantes électrique (notée E) et magnétique (notée B), chacune étant elle même représentée par un champ de vecteurs de l’espace (Evect et Bvect).

Les lois de l’électromagnétisme sont alors décrites par les équations de Maxwell :

∇·Bvect = 0
∇·Evect = μ0ρc , où ρ est la densité de charges électriques, et μ0 = 4π × 10−7 Hm−1 est la constante magnétique
∇∧Evect = -∂tBvect/c
**∇∧Bvect = ∂tEvect/c+μ0j ** , où j est le flux de charges électriques

La force exercée par le champ électromagnétique sur une particule de charge q et de masse m allant à la vitesse v est :
fem=q(cEvect+v∧Bvect)

Dans ces expressions, · est le produit scalaire et ∧ le produit vectoriel.

Représentation classique en algèbre géométrique

Avec l’algèbre géométrique, on utilise plutôt les produits intérieur et extérieur, qui sont eux aussi notés · et ∧. Pour le produit intérieur, ce n’est pas grave car le produit scalaire en est simplement la restriction aux vecteurs. Par contre, on a vu que ∇∧vecta=∇∧extaI³.

De plus, le champ magnétique ressemble à un champ de rotations de l’espace, donc on remplace Bvect par son dual dans l’espace B=BvectI-1 qui est un champ de bivecteurs. On aura donc Bvect=BI.

On obtient donc, de manière complètement équivalente à la représentation précédente :

∇·(BI)=0 <=> ∇∧B = 0 , car ∇·(BI)=[∇BI]0=[∇B]3I=(∇∧B)I , équation de grade 3
∇·Evect0ρc <=> ∇·Evect = μ0ρc , équation de grade 0
(∇∧Evect)I³=-∂tBI/c <=> ∇∧Evect = -I²∂tB/c , équation de grade 2
(∇∧(BI))I³=∂tEvect/c+j <=> ∇·B = ∂tEvect/c+μ0j , car (∇∧(BI))I=[∇BI]2I=[∇BII]1 1=∇·BI² , équation de grade 1

Comme ces 4 équations sont toutes de grades distincts, on peut les regrouper en une seule équation multivectorielle équivalente :
∇(B+Evect)=μ0(ρc+j)-∂t(I²B-Evect)/c

La force exercée par le champ électromagnétique sur une particule de charge q et de masse m allant à la vitesse v est :
fem=q(cEvect-(v∧(BI))I) <=> fem=q(cEvect-v·BI²) , avec le même calcul que pour la 4ième équation de Maxwell.

Représentation relativiste en algèbre géométrique

Dans cette représentation, on se place dans l’espace-temps et non dans l’espace. Comme le champ électrique ressemble à un champ d’accélération, on va le représenter par un champ de bivecteurs temporels E=Evectγ0/c. En notant l’opérateur nabla de l’espace ∇sp pour nabla spatial et Isp1γ2γ3, cela nous donne :

sp∧B=0 <=> sp∧B = 0 , équation de grade 3 spatiale
sp·(Eγ0c)=μ0ρc <=> sp·E = μ0ργ0 , équation de grade 1 temporelle
sp∧(Eγ0c)=-Isp²∂tB/c <=> sp∧E = -γ0tB , équation de grade 3 temporelle
sp·B=∂t00j <=> sp·B = -γ0tE+μ0j , équation de grade 1 spatiale

Comme ces 4 équations sont toutes séparées soit sur des grades distincts, soit en composantes temporelles et spatiales, on peut les regrouper en une seule équation multivectorielle équivalente :
sp(E+B)=μ0(ργ0+j)-γ0t(E+B)

On voit apparaître le champ électromagnétique F=B+E et le vecteur de flux de charges électriques J=ργ0+j :
∇F=μ0J

En termes des champs vectoriels initiaux, F=Evectγ0/c+BvectIsp-1.

La force exercée par le champ électromagnétique sur une particule de charge q et de masse m allant à la vitesse v=γ0+vsp dans l’espace-temps est :

fem=q(Eγ0Isp²-vsp·BIsp²)=qIsp²(E·γ0+B·vsp)=qIsp²(E·(v-vsp)+B·v)=qIsp²(F·v-E·vsp)

Dans le référentiel de la particule, la force est donc simplement fem=qIsp²F·v. Or, cette force doit avoir le même effet indépendamment du référentiel dans lequel on l’observe, et doit de plus être perpendiculaire à la vitesse courante v car celle-ci est normée, donc le terme E·vsp est en fait une erreur de l’expression non relativiste. On a donc :

fem=qIsp²F·v

On peut remarquer les points suivants :

Analyse de la représentation relativiste en algèbre géométrique

Malgré la simplicité d’écriture de la nouvelle équation de Maxwell ∇F=J, toute la dynamique d’évolution du champ électromagnétique y est contenue. Il peut être tentant d’exploiter cette équation directement pour faire des calculs sans la comprendre vraiment, ce que la plupart des gens font déjà avec la représentation classique à 4 équations. Mais je pense qu’il est important au contraire d’essayer de comprendre le mieux possible ce que cette équation signifie.

Pour commencer, que signifie ∇F ? Il s’agit d’un produit géométrique entre le vecteur ∇=Σ∂iei et le bivecteur F. Cela nous donne donc ∇F=ΣeiiF=Σei·∂iF+Σei∧∂iF. Ces expressions sont similaires aux opérateurs divergence et rotationnel mais opèrent sur un bivecteur et non un vecteur, on peut donc se les représenter dans l’espace de la même manière : en un point X, ∇F est la somme, sur les faces d’un cube infinitésimal centré en X, du produit niF, divisée par le volume du cube, ni étant le vecteur unitaire normal à la face i dirigé vers l’extérieur du cube. En fait, par intégration, ce même raisonnement s’applique à n’importe quelle surface fermée : l’intégrale de nF sur la surface, avec n le vecteur réciproque à la normale unitaire sortante à la surface, est égale à l’intégrale de J sur le volume délimité par cette surface.

Ainsi, si on connait la valeur de F sur toutes les faces sauf une d’un cube infinitésimal en un point X, et la valeur de J en X, l’équation ∇F=J, nous donne la valeur de nF sur la dernière face du cube, et donc celle de F à condition que n soit inversible, soit n2≠0. Autrement dit, si on connait la valeur de F sur un hyperplan dans un voisinage de X, et la valeur de J dans ce voisinage, on peut propager le champ F dans ce voisinage à partir de l’hyperplan et dans la direction orthogonale à celui-ci, sauf si cette direction est portée par un vecteur nul. Ceci va nous permettre de déterminer la vitesse de propagation du champ électromagnétique.

Vitesse de propagation du champ électromagnétique

Supposons maintenant qu’il existe dans l’espace une unique particule chargée ponctuelle, dont on connait la position seulement en un point X de l’espace-temps, et qu’on connaît la valeur du champ F seulement dans un hyperplan spatial qui contient ce point, on peut montrer qu’on peut propager le champ F partout à l’extérieur du cône de lumière au point X, mais pas à l’intérieur. En effet,

Ensuite, de manière générale, on ne peut pas propager le champ F dans la direction d’un vecteur nul, ce qui nous empêche de propager F sur ou dans le cône de lumière depuis une surface tangente à celui-ci. Enfin, on ne peut pas non plus propager F sur ou dans le cône de lumière depuis une surface non tangente car celle-ci pénètrerait dans le cône de lumière et on ne connait pas les valeurs de F dans le cône de lumière. On peut tout de même propager F sur le cône de lumière par continuité, mais pas à l’intérieur. On en déduit que le champ F sur le cône de lumière (futur, pour préserver la causalité) en X, émis par la particule est entièrement déterminé par l’état de cette particule en X. Le champ électromagnétique se propage donc exactement à la vitesse de la lumière depuis ses sources.

Champs électromagnétique émis par une charge électrique ponctuelle

On peut séparer l’équation de Maxwell en 2 : ∇·F=J et ∇∧F=0. La représentation géométrique du cube infinitésimal peut être utilisée sur chacune des 2 équations séparément en remplaçant le produit nF par n·F ou n∧F.

L’équation ∇·F=J décrit le champ électromagnétique généré par une particule de charge q et de vitesse constante v : F=(1/4π)q(x∧v)/(x·v)3, où x=X-X0, X le point où on évalue F, et X0 le point de la trajectoire de la particule tel que x2=0. En effet, la symétrie du problème nous indique que le champ est radial (selon x∧v) et dépend uniquement de xv. Ensuite, il suffit d’intégrer F sur un cylindre d’axe v pour arriver à l’équation ci-dessus, la norme de x∧v étant x·v car x est un vecteur nul.

L’équation ∇∧F=0 décrit l’influence sur F de l’accélération v̇ d’une particule.


  1. Attention cette opération n’est pas triviale. Ici, ∇BI est de grades 0 et 2 car BI et ∇ sont de grade 1, la multiplication par I va mettre le grade 0 sur le grade 3 et le grade 2 sur le grade 1, sans les mélanger, donc on peut prendre le grade 1 de ∇BII