Chapitre 3 - La mécanique quantique justification mathématique

Représentations mathématiques des particules

Représentation sans spin dans l’espace en 3 dimensions

Équation de Schrödinger

Dans l’espace en 3 dimensions et sans spin, une particule peut être représentée par un champ de nombres complexes, noté ψ. L’amplitude de ces nombres complexes représente la densité de probabilité de présence de la particule dans l’espace. Leur phase est un angle de rotation dans l’espace (1,i), mais le nombre i ne semble pas avoir une quelconque signification physique dans ce contexte. Mathématiquement, les différences de phases provoquent néanmoins des interférences qui ont des effets observables.

L’évolution de ce champ dans un potentiel d’énergie A0 est décrite par l’équation de Schrödinger :
iℏ∂tψ=((iℏ∇sp)²/2m + A0, où m est la masse de la particule, ℏ la constante de Plank réduite, i un nombre tel que i²=-1, ∇sp1,2,3γjj, et γj²=1.

L’équation de Schrödinger est de loin l’équation de mécanique quantique la plus connue, et elle est utile pour les calculs en pratique.

Malheureusement, cette équation est plus mathématique que physique, car :

On va donc plutôt s’intéresser aux équations de Madelung, qui sont une version plus physique de l’équation de Schrödinger.

Équations de Madelung

En partant de l’équation de Schrödinger et en décomposant ψ en Re, où R et φ sont des réels, on obtient :

iℏ∂tψ = ((iℏ∇sp)²/2m + A0
iℏ((∂̇tṘ)e+i∂̇tφ̇Re) = -(ℏ²/2m)(∇sp·(∇̇spṘe + i∇̇spφ̇Re)) + A0Re
iℏ((∂̇tṘ)e+i∂̇tφ̇Re) = -(ℏ²/2m)((∇̇sp²Ṙ)e + i(∇spφ)·(∇̇spṘ)e + i∇̇sp²φ̇Re + i(∇̇spφ̇)·(∇̇spṘe + i∇̇spφ̇Re)) + A0Re
∂̇tṘ +i∂̇tφ̇R = (ℏ /2m)(i∇̇sp²Ṙ - (∇spφ)·(∇̇spṘ) - ∇̇sp²φ̇R - (∇̇spφ̇)·(∇̇spṘ + i∇̇spφ̇R )) - iA0R/ℏ

Sur la partie réelle, on a :

∂̇t = -ℏ(2(∇̇spφ̇)·(∇̇spṘ) + ∇̇sp²φ̇R )/2m
∂̇t = - (2(∇̇spṠ)·(∇̇spṘ) + ∇̇sp²ṠR )/2m où S=ℏφ
∂̇tṘR = - (2(∇̇spṠ)·(∇̇spṘR) + ∇̇sp²ṠR²)/2m
tρ = - ( (∇̇spṠ)·(∇spρ) + ∇̇sp²Ṡρ )/m où ρ=R²=ψψ̃
tρ = - ∇sp·(∇̇spṠρ/m)

Or, ρ étant une densité de probabilité locale, elle doit être localement conservée, à savoir ∂tρ+∇sp·(ρvsp)=0, où vsp est un champ de vitesse dans l’espace tel que ρvsp est le flux de ρ. En fait, le flux de ρ n’est pas défini de manière unique, car il peut y avoir des flux qui ne modifient pas ρ, en faisant des boucles. Du coup le champ de vitesse vsp n’est pas non plus défini de manière unique.

On choisit donc vsp=∇̇spṠ/m, qui est un champ de vitesse valable pour ρ, car il vérifie ∂tρ+∇sp·(ρvsp)=0. C’est d’ailleurs le seul champ de vitesse de ρ qui soit irrotationnel (tel que ∇̇sp∧v̇sp=0), ce qui en fait le choix le plus simple (pas de composante inutile qui fait des boucles).

On se rend compte ainsi que ∇̇spṠ=mvsp a la dimension d’une quantité de mouvement.

L’interprétation de de Broglie-Bohm est que la particule, de masse m, est ponctuelle et que sa trajectoire suit le flux de ρ. Dans ce cas, sur la trajectoire de la particule, vsp coïncide avec la vitesse de la particule, et ∇̇spṠ=mvsp coïncide avec la quantité de mouvement de la particule. Il s’agit d’une coïncidence localement sur la trajectoire car vsp et ∇̇spṠ sont des champs définis dans tout l’espace, alors que la particule est ponctuelle. Selon cette interprétation, l’expérimentateur ne maîtrise jamais complètement les données initiales de son expérience : il ne parvient qu’à reproduire la densité ρ initiale, et la position initiale de la particule suit une distribution de probabilité égale à ρ. Comme la particule suit le champ de vitesses de ρ, les résultats suivent également une distribution de probabilité égale à ρ à l’arrivée.

L’interprétation de Copenhague est que la particule est présente simultanément en tout point de l’espace avec une densité de présence égale à ρ. Selon cette interprétation, lorsque quelque chose mesure la position de la particule, le résultat de mesure est aléatoire, avec ρ comme distribution de probabilité. De plus, lors de la mesure, ρ est modifié pour refléter le résultat de mesure, de sorte que deux mesures successives donnent toujours le même résultat.

Sur la partie imaginaire, on a :

∂̇tφ̇R = ℏ( ∇̇sp²Ṙ - (∇̇spφ̇)²R)/2m - A0R/ℏ
∂̇tφ̇ = ℏ( ∇̇sp²ṘR-1 - (∇̇spφ̇)² )/2m - A0 /ℏ
∂̇t = (ℏ²∇̇sp²ṘR-1 - (∇̇spṠ)² )/2m - A0 o ù on rappelle que S=ℏφ
∂̇t = (ℏ²/2m)∇̇sp²ṘR-1 - mvsp²/2 - A0 o ù on rappelle que ∇̇spṠ=mvsp
∂̇t = - (Q0 + m vsp²/2 + A 0) où Q0=-(ℏ²/2m)∇̇sp²ṘR-1
∂̇t(mv̇sp) = -∇sp(Q0 + m vsp²/2 + A 0)
∂̇t(mv̇sp) = -∇sp(Q0+A0) - ∇̇~ sp(mv̇·vsp~)
∂̇t(mv̇sp) = -∇sp(Q0+A0) - (v sp·∇̇sp)(mv̇) - (∇ ̇sp∧(mv̇))·vsp ca r (A∧B)·C=A(B.C)-B(A·C)
∂̇t(mv̇sp) = -∇sp(Q0+A0) - (v sp·∇̇sp)(mv̇) ca r vsp=∇̇spṠ/m
(∂̇t+vsp·∇̇sp)(mv̇sp) = -∇sp(Q0+A0)
t(mv̇sp) = -∇sp(Q0+A0) t=∂̇t+vsp·∇̇sp est la dérivée particulaire

Ce sont les équations de Madelung.

Pour commencer, l’apparition de la dérivée particulaire révèle que l’équation de Schrödinger est une équation de mécanique des fluides. En mécanique classique, les lois physiques fondamentales suivent les particules dans leur trajectoire et non pas un repère fixe. Mais, dans le cas de fluides, on utilise la dérivée particulaire pour exprimer ces lois dans un repère fixe pour des questions pratiques de calcul. Ici, on voit que l’équation de Schrödinger est déjà dans un repère fixe, et les équations de Madelung sont sa forme équivalente qui suit les trajectoires.

Ensuite, l’équation ci-dessus est en fait identique au principe fondamental de la mécanique classique : la dérivée temporelle de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces. Par contre vsp est ici un champ défini dans tout l’espace, comme pour un fluide. Ces forces dérivent ici d’un potentiel d’énergie Q0+A0. Les forces de la mécanique classique dérivent du potentiel A0, donc les forces qui dérivent du potentiel Q0 sont des forces supplémentaires qui décrivent les nouveautés de la mécanique quantique. Pour cette raison, Q0 est appelé le potentiel quantique.

Regardons plus en détail ce potentiel quantique :

Q0 = - (ℏ²/2m)∇̇sp²ṘR-1
= -(ℏ²/2m)(∇sp²ln(ρ)/2+(∇̇spln(ρ)/2)²) car R=exp(ln(ρ)/2)

Comme on a des dérivées relatives, on va regarder des exemples de la forme ρ=ef(X).

Pour ρ=e-(X/σ)², on a :

Q0 = - (ℏ²/2m)( ∇sp²ln(ρ) /2 + ( ∇̇spln(ρ) /2)²)
= -(ℏ²/2m)(-∇sp²(X/σ)²/2 + (∇̇sp(X/σ)²/2)²)
= (ℏ²/2m)( ∇sp²(X²) /2σ² - (∇̇sp(X²) )²/4σ⁴)
= (ℏ²/2m)( 9 /σ² - (6X )²/4σ⁴)
= (9ℏ²/2σ²m)(1 - X²/σ²)

Donc pour une distribution gaussienne, Q0 est un potentiel répulsif en -X².

Pour ρ=e-(|X|/σ), on a :

Q0 = - (ℏ²/2m)( ∇sp²ln(ρ)/2 + ( ∇̇spln(ρ)/2)²)
= -(ℏ²/2m)(-∇sp²(|X|/σ)/2 + (∇̇sp(|X|/σ)/2)²)
= (ℏ²/2m)( - 9/4σ²)
= -(9ℏ²/8mσ²)

Donc pour une distribution exponentielle, Q0 est un potentiel constant qui n’a donc pas d’effet. Cette distribution est donc stable en l’absence de forces classiques (-∇spA0=0).

Pour ρ=e-(|X|/σ)+nln(|X|), on a :

Q0 = - (ℏ²/2m)( ∇sp²ln(ρ)/2 + ( ∇̇spln(ρ)/2)²)
= -(ℏ²/2m)(-∇sp²(|X|/σ)/2 + sp²(nln(|X|))/2 + (∇̇sp(nln(|X|)-|X|/σ)/2)²)
= (ℏ²/2m)( + 9n/2X² - 9n²/4X² - 9/4σ² + 9n/σ|X|)
= (9ℏ²/2m)((n-n²/2)/2X² + n/ σ| X| - 1/4σ²)

Donc pour n=2, on a une force -∇spQ0=9ℏ²/mσX² capable de compenser exactement l’attraction électrique qparticuleqnoyau/4πX²ε0 d’une charge qnoyau placée en X=0. Ce potentiel quantique permet ainsi d’expliquer la stabilité des atomes. On a trouvé ici une solution possible pour ρ pour l’électron dans l’atome d’hydrogène : ρ=X²e^-(|X/σ|) avec σ=36ℏ²πε0/mqélectronqproton.

Enfin, on s’aperçoit que dans l’équation de Schrödinger, toutes les dépendances en ρ sont en fait des variations relatives de ρ, que ce soit dans le temps ou dans l’espace. Donc, en ce qui concerne l’équation de Schrödinger, ρ est globalement défini à un facteur près. Le fait de normaliser ρ n’a donc pas d’effet sur la dynamique, ça n’est utile que dans l’interprétation de ρ comme une densité de probabilité.

Du coup, l’équation de conservation de ρ n’est pas nécessaire pour que ρ puisse être interprété comme une densité de probabilité : on peut considérer que la densité de probabilité est ρ/∫ρ et que ρ n’a pas besoin d’être normalisé. En revanche, l’équation de conservation de ρ est nécessaire pour garantir la localité de la dynamique, puisque sans elle, le terme ∫ρ ne serait pas constant, et pourrait être affecté par des variations arbitrairement lointaines.

En conclusion, pour pouvoir donner un sens à l’équation de Schrödinger, on a posé vsp=∇̇spφ̇ℏ/m. Cela nous a permis d’interpréter la partie réelle de l’équation de Schrödinger comme l’équation de conservation de ρ, et la partie imaginaire comme une extension quantique du principe fondamental de la dynamique.

On va donc considérer que la définition vsp=∇̇spφ̇ℏ/m est en fait une équation physique sans laquelle l’équation de Schrödinger est incomplète.

Le mécanique quantique non relativiste sans spin est donc décrites par le jeu d’équations suivant : * ∂tρ+∇sp·(ρvsp)=0 * Ḋt(mv̇sp)=-∇sp(Q0+A0) , où Q0=-(ℏ²/2m)(∇sp²ln(ρ)/2+(∇̇spln(ρ)/2)²) * vsp=∇̇spφ̇ℏ/m

Représentation sans spin dans l’espace-temps

Contrairement à l’équation de Schrödinger, il est assez facile trouver les équivalents relativistes des équations de Madelung.

Première équation de Madelung dans l’espace-temps

L’équation de conservation de ρ devient :

0 = tρ + sp·(ρvsp)
0 = (∇̇·γ0)ρ̇ + ∇̇sp·(ρ̇vsp) + ∇̇sp·(ρv̇sp)
0 = ∇̇·(ρ̇γ0) + ∇̇ ·(ρ̇vsp) + ∇̇sp·(ρv̇) où v=γ0+vsp
0 = ∇̇·(ρ̇v) + ∇̇ ·(ρv̇)
0 = ∇·(ρv)

On reconnait bien l’équation de conservation de ρ dans l’espace-temps.

On peut aussi ré-écrire cette équation de la façon suivante :

0 = ∇̇·(ρ̇v) + ∇̇·(ρv̇)
0 = v·∇lnρ + ∇̇·v̇
∇̇·(mv̇) = -(mv)·∇lnρ

Deuxième équation de Madelung dans l’espace-temps

Dans l’espace-temps, énergie et quantité de mouvement sont liés par la vitesse de la lumière. Ainsi, le potentiel d’énergie A0 et le potentiel de quantité de mouvement Asp forment un vecteur : le potentiel de quantité de mouvement dans l’espace-temps A=A0γ0-Asp. De même pour le potentiel quantique.

La deuxième équation étant similaire au principe fondamental de la dynamique, elle devient :

∂̇τ(mv̇) = (∇∧(A+Q))·v où A est le potentiel de quantité de mouvement classique et Q le potentiel de quantité de mouvement quantique, dans l’espace-temps
(v·∇)(mv̇) = (∇∧(A+Q))·v

On peut aussi ré-écrire cette équation de la façon suivante :

0 = (∇∧mv̇)·v + (∇∧(A+Q))·v car v²=c² donc v·v̇=0
0 = (∇̇∧(Ȧ+Q̇+mv̇))·v

Troisième équation de Madelung dans l’espace-temps

En ce qui concerne la dernière équation, la phase φ n’est pas mesurable, et l’évolution de ρ et v est déjà définie entièrement par les 2 premières équations. Donc on peut oublier φ, et cette équation devient la contrainte suivante :

0 = ∇̇sp∧v̇sp
0 = ∇̇sp∧v̇
0 = γ0∧∇̇∧v̇

La dernière équation se doit d’être invariante par rotation de l’espace-temps, et ne doit donc pas contenir γ0. On pourrait le supprimer et garder ∇̇∧v̇=0, mais ce serait ajouter une seconde définition de ∂tv̇. On va donc plutôt considérer que γ0 est ici une approximation de v, ce qui nous donne :

0 = v∧∇̇∧v̇
0 = v∧∇̇∧(mv̇)

Les trois équations de Madelung en une dans l’espace-temps

On peut ainsi recombiner les 3 équations pour donner :

v∇̇(mv̇) = (v·∇)(mv̇) + (v∧∇)(mv̇)
= (v·∇)(mv̇) + (v∧∇)·(mv̇) + (v∧∇)∧(mv̇)
= (v·∇)(mv̇) + v(∇·(mv̇)) + (v∧∇)∧(mv̇)
= (∇∧(A+Q))·v - v(mv)·∇lnρ

Les 3 parties sont indépendantes car (v∧∇)∧(mv̇) est un trivecteur, v(∇·(mv̇)) est un vecteur parallèle à v, et (v·∇)(mv̇) est un vecteur orthogonal à v.

Les équations de Madelung s’écrivent donc en une seule équation dans l’espace-temps :

v∇̇(mv̇) = (∇∧(A+Q))·v - v(mv)·∇lnρ
∇̇(mv̇) = v-1((∇∧(A+Q))·v) - (mv)·∇lnρ
∇̇(mv̇) = -((∇∧(A+Q))·v)v-1 - (mv)·∇lnρ
∇̇(mv̇) = -(∇∧(A+Q))tp - (mv)·∇lnρ où (∇∧(A+Q))tp=((∇∧(A+Q))·v)v-1

Représentations avec spin dans l’espace en 3 dimensions

Cette représentation nécessite de choisir un plan de spin de référence dans l’espace. Le choix habituel, que nous allons suivre, est γ1γ2.

Représentation de Pauli

Dans l’espace en 3 dimensions avec spin, une particule est habituellement représentée par un champ de vecteurs complexes à 2 dimensions. L’amplitude de chacune des composantes correspond à la densité de probabilité de présence de la particule dans l’espace, avec un spin positif pour l’une, et négatif pour l’autre, dans le plan de référence choisi. Ces composantes sont donc notées ψ+ et ψ-.

L’équation d’évolution de ce champ dans un potentiel d’énergie A0 et un potentiel de quantité de mouvement Asp est l’équation de Pauli :
iℏ∂tψ=((σ·(iℏ∇sp-Asp))²/2m+A0, où ((σ·(iℏ∇sp-Asp))² est le carré de σ·(iℏ∇sp-Asp) en tant qu’opérateur (ie. f²ψ=f(f(ψ))), σ·v=Σviσi, vi sont les coordonnées du vecteur v, et σi sont les matrices de Pauli :

σ1 = 0 1 , σ2 = 0 -i , σ3 = 1 0
1 0 i 0 0 -1

Représentation dans l’espace en 3 dimensions avec spin, en algèbre géométrique

Les matrices de Pauli génèrent une algèbre dans l’espace des matrices. Cette algèbre est une représentation de l’algèbre géométrique sur ℝ³. De plus, l’équation de Pauli suggère fortement une relation directe entre les matrices de Pauli et les composantes des vecteurs de l’espace. Il est donc naturel de remplacer les matrices de Pauli par les vecteurs γ1,2,3.

Il nous reste à savoir comment représenter ψ dans l’algèbre géométrique, puis voir comment les vecteurs γ1,2,3 agissent sur cette representation pour représenter fidèlement l’actions des matrices σ sur ψ.

Les valeurs de ψ ont 4 degrés de liberté réels, puisque ce sont des vecteurs complexes en deux dimensions. Deux de ces degrés de liberté forment l’espace des valeurs de ψ sans spin (densité de probabilité de présence et phase de la particule), on peut donc imaginer que les deux autres degrés de liberté indiquent le plan de spin dans ℝ³. Si de plus on représente la phase par un angle de rotation dans le plan de spin, les valeurs de ψ peuvent alors être représentées par des similarités de ℝ³ :

Rétrospectivement, on aurait pu représenter les valeurs de ψ sans spin par des similarités de ℝ², ce qui correspondrait à une particule dont le plan de spin est le même en tout point de l’espace-temps.

Dans l’algèbre géométrique, les rotations sont représentées par les bivecteurs ou les rotors. On peut donc représenter les similarités par une extension des rotors, dans laquelle la norme, au lieu d’être unitaire, représente la dilatation. Cette extension des rotors est l’ensemble des multivecteurs de grades pairs, appelés spineurs.

Dans la représentation de Pauli, chacune des composantes ψ+ et ψ- représente une particule de spin uniforme dans l’espace-temps (+γ1γ2 ou -γ1γ2). On peut donc les représenter par des spineurs de ℝ², et il semble naturel de choisir les spineurs du plan de référence γ1γ2. Ainsi, le champ total peut s’écrire ψ=ψ++aγ3ψ- où a est un vecteur du plan (γ12). Ce choix semble prometteur car ψ-=0 implique que ψ laisse γ1γ2 invariant, tandis que ψ+=0 implique que ψ transforme γ1γ2 en -γ1γ2, ce qui correspond à la signification physique de ψ+ et ψ-.

Il reste à comparer σi, comme opérateur sur ℂ², à γi, comme opérateur sur les spineurs.

σ3 laisse ψ+ inchangé et transforme ψ- en -ψ-, donc γ3 appliqué à ψ donne ψ+-aγ3ψ- = γ3ψγ3.

σ1 échange les composantes ψ+ et ψ-, donc γ1 appliqué à ψ donne ψ-+aγ3ψ+ = -aψγ3.

i transforme les parties imaginaires en leurs opposées, puis échange les parties réelles et imaginaires, donc i appliqué à ψ± donne ψ±γ1γ2, donc i appliqué à ψ donne ψγ1γ2.

σ2=iσ1σ3, donc γ2 appliqué à ψ donne, -aγ3ψγ1γ2γ3γ3 = -aγ3ψγ1γ2 = -aγ1γ2ψγ3.

Donc, en choisissant γi²=1 et a=-γ1, on obtient γi appliqué à ψ donne γiψγ3.

L’équation de Pauli devient donc :

ℏ∂tψγ1γ2 = A~0 + (iℏ∇sp-Asp)((iℏ∇sp-Asp)ψ)γ3γ3/2m
= A~0 + (iℏ∇sp-Asp)((iℏ∇sp-Asp)ψ)/2m
= A~0 + (iℏ∇sp-Asp)(ℏ∇spψγ1γ2-Aspψ)/2m
= A~0 + ℏ∇sp(ℏ∇spψγ1γ2-Aspψ)γ1γ2/2m - Asp(ℏ∇spψγ1γ2-Aspψ)/2m
= A~0 + (-ℏ²∇sp²ψ -ℏ∇̇spȦψγ1γ2 -ℏ∇̇spAspψ̇γ1γ2 -Aspℏ∇spψγ1γ2 -Asp²ψ)/2m
= A~0 + (-ℏ²∇sp²ψ -ℏ∇̇spȦψγ1γ2 -2ℏ(Asp·∇̇sp)ψ̇γ1γ2 -Asp²ψ)/2m

On définit maintenant le bivecteur de spin S=(ℏ/2)ψγ1γ2ψ-1. On a alors :

2∂̇tψ̇ψ-1 = A0ψ + ( -ℏ²∇̇sp²ψ̇ - 2∇̇spȦSψ - 4((Asp·∇̇sp)ψ̇ψ-1)Sψ - Asp²ψ ) /2m
2∂̇tψ̇ψ-1S = A0 + ( -ℏ²∇̇sp²ψ̇ψ-1 - 2∇̇spȦS - 4(Asp·∇̇sp)ψ̇ψ-1S - Asp² ) /2m
2∂̇tψ̇ψ-1 = A0S-1 + ( -ℏ²∇̇sp²ψ̇ψ-1S-1/2 - ∇̇spȦ - 2(Asp·∇̇sp)ψ̇ψ-1 - Asp²S-1/2 ) /m
2∂̇tψ̇ψ-1 = A0S-1 + ( 2∇̇sp²ψ̇ψ-1S - ∇̇spȦ - 2(Asp·∇̇sp)ψ̇ψ-1 - Asp²S-1/2 ) /m

On constate que la constante de Plank ℏ est liée à S et n’apparait nulle part ailleurs dans l’équation. Donc elle concerne uniquement l’amplitude du spin.

Ensuite, ψ est un spineur, donc il peut s’écrire ψ=ρ1/2RSRφ, où ρ est la densité de présence de la particule, RS=eΩS/2 et Rφ=eφγ1γ2/2. On a alors :

2∂̇ψ̇ψ-1 = ∂lnρ + ∂̇ṘSRS-1 + RS∂̇ṘφRφRS-1 = ∂lnρ + ∂ΩS + RS∂̇φ̇γ1γ2RS-1 = ∂lnρ + ∂ΩS + ∂̇φ̇(ℏ/2)S-1

Donc :

2∂̇tψ̇ψ-1 = A0 S-1 + ( 2∇̇sp²ψ̇ψ-1S - ∇̇spsp - 2(Asp·∇̇sp)ψ̇ψ-1 - Asp²S-1/2 )/m
tlnρ + ∂tΩS + ∂̇tφ̇(ℏ/2)S-1 = A0 S-1 + ( (∇sp²lnρ+∇sp²ΩS + sp·(∇̇spφ̇(ℏ/2)S-1))S - ∇̇spsp - (Asp·∇̇sp)(lṅρ + Ω̇S + φ̇(ℏ/2)S-1) - Asp²S-1/2 )/m
tlnρ + ∂tΩS = (-∂̇tφ̇(ℏ/2) + A0)S-1 + ( (∇sp²lnρ+∇sp²ΩS)S + ̇sp²φ̇(ℏ/2)S + ∇̇sp·(∇spφ(ℏ/2)Ṡ-1)S - ∇̇spsp - (Asp·∇̇sp)(lṅρ + Ω̇S + φ̇(ℏ/2)S-1) - Asp²S-1/2 )/m

On pose à nouveau vsp=∇̇spφ̇ℏ/m, et on découpe selon les grades.

Grade 0

tlnρ=∇̇sp²Ω̇S·S/m + [(∇̇sp·(∇spφ(ℏ/2)Ṡ-1))S/m]0 -∇̇sp·Ȧsp/m - (Asp·∇̇sp)lṅρ/m (∂t+(Asp·∇sp)/m)lnρ = ∇̇sp²Ω̇S·S/m + [(∇̇sp·(∇spφ(ℏ/2)Ṡ-1))S/m]0 -∇̇sp·Ȧsp/m

Bref, c’est n’importe quoi…

Représentations relativistes avec spin

Représentation de Dirac

Dans l’espace-temps, avec spin, une particule est habituellement représentée par un champ de vecteurs complexes à 4 dimensions, noté ψ. Les opérateurs liés aux grandeurs physiques observables (vitesse, plan de spin, densité de présence de la particule) sont des matrices complexes 4x4, notée γi, et appelées matrices de Dirac.

Comme avec la représentation de Pauli, les composantes complexes du champ ψ peuvent être divisées en deux parties, notées ψ1 pour les deux premières composantes, et ψ2 pour les deux autres. Les champs ψi peuvent alors être interprétées comme des champs représentant des configurations de la particule dans la représentation de Pauli.

L’équation de Dirac, qui décrit l’évolution du champ ψ dans un potentiel de quantité de mouvement A, est :

c·(iℏ∇-A))ψ-mcψ=0, où γc est un vecteur de matrices complexes 4x4, dont les composantes γci sont les matrices de Dirac avec un facteur 1/c pour γc0, et A=A0γ0-Asp=ΣAiγi.

Plus précisément, pour un vecteur v=γivi, γc·v=Σviγci.

Représentation relativiste avec spin en algèbre géométrique

Les matrices de Dirac ont les mêmes propriétés d’algèbre que les vecteurs de base de l’espace-temps dans l’algèbre géométrique de l’espace-temps. De plus, ils ont une étroite relation avec les vecteurs de base de l’espace-temps dans l’équation de Dirac. On va donc les remplacer par les vecteurs de base de l’espace-temps dans la représentation en algèbre géométrique.

Dans la représentation de Pauli, le champ ψ pouvait être représenté par une similirité de l’espace. La représentation de Dirac étant relativiste, on s’attend à pouvoir représenter le champ ψ par une similarité de l’espace-temps dans ce contexte. Or, dans la représentation de Dirac, ψ appartient à un espace vectoriel complexe de dimension 4, soit un espace vectoriel réel de dimension 8. Mais les similarités d’un espace de dimension 4 ont seulement 7 degrés de liberté : 1 pour la dilatation, 3 pour les rotations spatiales, 3 pour les rotations temporelles. Il se trouve cependant que les spineurs de l’espace-temps, en algèbre géométrique, forment un espace vectoriel de dimension 8. Ils incluent un sous-espace de dimension 7 qui représente les similarités de l’espace-temps, mais possèdent un degréde liberté supplémentaire qui tourne dans le “plan” (scalaire,pseudo-scalaire). On va donc représenter ψ par les spineurs de l’espace-temps, tout comme on l’avait représenté par les spineurs de l’espace dans la représentation de Pauli. En termes des composantes ψ1 et ψ2, on a donc par exemple ψ=ψ12I, avec I=γ0γ1γ2γ3/c.

Il reste donc à voir comment les opérateurs γci agissent sur ψ :

γc0 transforme ψ1 en ψ1/c et ψ2 en -ψ2/c. Donc γ0 appliqué à ψ donne (ψ12I)/c = γ0ψγ0/c

γc1,2,3 échange les composantes ψ1 et ψ2, puis applique l’opérateur iγ1,2,3 de la représentation de Pauli sur chacune d’entre elle. Donc γc1,2,3 appliqué à ψ donne γ1,2,321I)γ3γ1γ2 = -γ1,2,3(ψI)γ3γ1γ2 = γ1,2,3ψγ0/c.

L’équation de Dirac devient donc :

ℏ∇ψγ0γ1γ2/c-Aψγ0/c-mcψ=0
ℏ∇ψγ0γ1γ2-Aψγ0-mψ=0
ℏ∇ψ+(Aψ+mψγ01γ2=0
ℏ∇ψ+(Aψ+mψγ0-1ψγ1γ2=0
ℏ∇ψ+(A+mv)ψγ1γ2=0 car ψ transforme γ0 en v, la vitesse de la particule dans l’espace-temps.
2∇ψψ-1+(A+mv)ψγ1γ2ψ-1/(ℏ/2)=0
2∇̇ψ̇ψ-1+(A+mv)S/(ℏ/2)²=0 car ψ transforme (ℏ/2)γ1γ2 en S, le spin de la particule (spatial).
2∇̇ψ̇ψ-1-(A+mv)S-1=0
2∇̇ψ̇ψ-1-PS-1=0 où P=A+mv est le vecteur de quantité de mouvement totale de la particule

ψ contient toutes les informations concernant la particule, codées dans un spineur de l’espace-temps. Pour faire apparaître ces informations, on va décomposer le spineur en ψ=ρ1/2RvRSRφeIβ/2, où Rv, RS, et Rψ sont des rotors, tels que Rφ=eΩφ/2=e(φ/2)γ1γ2 tourne d’abord dans le plan γ1γ2, puis RS=eΩS/2 tourne le plan γ1γ~2 dans S123, le plan de spin de l’espace γ1γ2γ3 (Attention, on obtient S, le plan de spin de l’espace-temps qu’après avoir tourné le plan de spin de l’espace γ1γ2γ3 par Rv !), et enfin Rv=eΩv/2 tourne l’espace γ1γ2γ3 dans l’espace propre de la particule. Rv tourne donc aussi γ0 dans la vitesse v de la particule.

D’un point de vue géométrique, on a décomposé ψ en une dilatation ρ1/2, une succéssion de rotations Rφ,RS,Rv, et le terme e qui tourne dans le “plan” (scalaire,pseudo-scalaire). La succéssion de rotations est elle-même une décomposition naturelle d’un point de vue géométrique, puisqu’elle définit d’abord une rotation dans le plan γ1γ2, puis ce plan est tourné dans l’espace γ1γ2γ3 pour former une rotation de l’espace γ1γ2γ3, puis cet espace est tourné dans γ0γ1γ2γ3 pour former une rotation de l’espace-temps γ0γ1γ2γ3 : c’est simplement une construction hiérarchique où on ajoute une dimension à chaque nouvelle rotation.

D’un point de vue physique, on a fait apparaître les observables :

Seule la variable β ne correspond à aucune observable connue, et c’est précisément le degré de liberté qui ne correspond pas à l’espace des similarités de l’espace-temps. Au moins dans un premier temps, on se passera donc d’interpréter ses effets dans les équations.

En utilisant cette décomposition, à la fois géométrique et physique, dans l’équation de Dirac, on obtient :

0 = ∇ρ/ρ + 2∇̇Ṙvv + 2∇̇RvSSv + 2∇̇RvRSφφSv + ∇βΙ - PS-1
0 = ∇ρ/ρ + ∇̇Ω̇v + ∇̇RvΩ̇Sv + ∇̇RvRSΩ̇φSv + ∇βΙ - PS-1 car 2Ṙiii
0 = ∇ρ/ρ + ∇̇v̇v-1 + ∇̇Rv123S123-1v + ∇̇φ̇RvRSγ1γ2Sv + ∇βΙ - PS-1 car Ω̇i est le bivector instantané qui tourne i.1
0 = ∇ρ/ρ + ∇̇v̇v-1 + ∇̇Rv123vS-1 - ∇̇φ̇(ℏ/2)S-1 + ∇βΙ - PS-1

0 = ∇ρ/ρ + ∇̇v̇v-1 + ∇̇ṠspS-1 - (∇̇φ̇(ℏ/2)+P)S-1 + ∇βΙ , où Ṡsp=Rv123v est tel que Ṡsp·v=(Rv123v)·(Rvγ0v)=Ṡ123·γ0=0

Pour faire apparaître les équations d’évolution temporelle, on décompose sur les grades 1 et 3 et sur les composantes temporelles et spatiales dans le référentiel de la particule.

Grade 1 temporel

0 = v·(∇ρ/ρ+∇·(v̇v-1+ṠspS-1)-(∇̇φ̇(ℏ/2)+P)·S-1)
0 = (v·∇̇)ρ̇/ρ+[v∇v̇v-1]0 car v·(ṠS-1)=0 et v·(S-1)=0
0 = (v·∇̇)ρ̇/ρ+∇̇·v̇
0 = (v·∇̇)ρ̇+ρ∇̇·v̇

∇·(ρv)=0

C’est l’équation de conservation de ρ.

Cette équation définit l’évolution temporelle de ρ.

Grade 3 temporel

0 = v·(∇̇∧v̇∧v-1 + ∇̇∧(ṠspS-1) - (∇̇φ̇(ℏ/2)+P)∧S-1 + ∇β·I)
0 = ∇̇sp∧v̇ + ∂̇τspS-1 - (∂̇τφ̇(ℏ/2)+Vparticule)S-1 - Isp·∇βc où Vparticule=v·P est le potentiel classique dans le référentiel de la particule, et Isp=v·I
0 = (∇̇sp∧v̇)S + ∂̇τsp - (∂̇τφ̇(ℏ/2)+Vparticule) - (Isp·∇̇β̇c)S

Sur le grade 4, on sait déjà que ∇̇sp∧v̇∧S=0 et que Isp·∇̇β̇cS=0 et on ne gagne aucune information.

En projetant sur les grades 0 et 2, on obtient 2 équations :

Grade 3 temporel dans le plan de spin
∂̇τφ̇(ℏ/2) = (∇̇sp∧v̇)·S - Vparticule - (I~ sp~·∇̇β̇c)·S
∂̇τφ̇ = (-rot(v)·S-Vparticule)/(ℏ/2)+(s· ∇̇)β ̇c où rot(v)=-∇̇sp∧v̇ et s=ψγ3ψ-1
**∂̇τφ̇ = (-rot(v)·S-Vparticule)/(ℏ/2)+∂ ̇s β̇c** où ∂s=s·∇̇

Cette équation définit l’évolution temporelle de la phase φ : la phase tourne en fonction de l’énergie de la particule, mais aussi en fonction du rotationnel de vitesse dans le plan de spin.

Grade 3 temporel hors du plan de spin
τsp = -(∇̇sp∧v̇)×S - (Isp·∇̇β̇c)×S
τsp = -(∇̇sp∧v̇ + (Isp·∇̇Sβ̇c))×S où ∇S=S-1(S·∇)

Cette équation définit l’évolution temporelle du spin S : le plan de spin est tourné par le rotationnel de vitesse dans l’espace.

Grade 1 spatial

0 = v∧(∇ρ/ρ + ∇·(v̇v-1 + spS-1) - (∇̇φ̇(ℏ/2)+P)·S-1)
0 = v∧(∇̇spρ̇/ρ - (v-1·∇̇)v̇ + ∇·(ṠspS-1) - (∇̇φ̇(ℏ/2)+P)·S-1)
0 = v (∇̇spρ̇/ρ - (v-1·∇̇)v̇ + ∇·(ṠspS-1) - (∇̇φ̇(ℏ/2)+P)·S-1) car v·∇̇sp=0, v·v̇=0, et v·S-1=0
0 = ∇̇spρ̇/ρ - (v-1·∇̇)v̇ + ∇·(ṠspS-1) - (∇̇φ̇(ℏ/2)+P)·S-1
0 = ∇̇spρ̇/ρ - τv/c² + ∇·(ṠspS-1) - (∇̇φ̇(ℏ/2)+P)·S-1

∂̇τv̇/c² = -grad(ln(ρ)) + ∇·(ṠspS-1) - (∇̇φ̇(ℏ/2)+P)·S-1 , où grad=Σi=1,2,3γii=-∇sp

Le terme -grad(ln(ρ)) semble correspondre un peu à l’effet du potentiel quantique de l’équation de Madelung. Le potentiel quantique correspondant serait Q=mc²ln(ρ).

Le terme (∇̇φ̇(ℏ/2)+P) correspond à peu près à une différence entre les quantités de mouvement Psp et (-∇spφ(ℏ/2)). On donnera plus de détails plus bas.

Le terme ∇·(ṠspS-1) est le rayon de courbure du plan de spin dans l’espace.

Cette équation définit l’évolution temporelle de la vitesse v, c’est-à-dire la trajectoire.

Grade 3 spatial

0 = v∧(∇̇∧(ṠspS-1) - (∇̇φ̇(ℏ/2)+P)∧S-1 + ∇̇β̇Ι)
0 = v∧∇̇sp∧(ṠspS-1) - v∧(∇̇φ̇(ℏ/2)+P)∧S-1 + ∂̇τβ̇I
0 = [v∇̇spspS-1]4 - v∧(∇̇φ̇(ℏ/2)+P)∧S-1 + ∂̇τβ̇I
0 = v∧(∇̇sp·Ṡsp)∧S-1 - v∧(∇̇φ̇(ℏ/2)+P)∧S-1 + ∂̇τβ̇I car [v(∇̇sp∧Ṡsp)S-1]4=0
0 = ((∇̇sp·Ṡsp + ∇̇φ̇(ℏ/2)+P)·s-1)Ic/(ℏ/2) + ∂̇τβ̇I où s=ψγ3ψ-1
0 = (∇̇sp·Ṡsp + ∇̇φ̇(ℏ/2)+P)·s c/(ℏ/2) + ∂̇τβ̇

∂̇τβ̇ = -((s∧∇̇)·Ṡsp + ∂̇sφ̇(ℏ/2) + A·s)c/(ℏ/2)

Cette équation définit l’évolution temporelle de la variable β : elle est liée aux variations spatiales du plan de spin, en torsion, à la variation spatiale de la phase, à nouveau en torsion, et au terme A·s.

L’interprétation physique de cette équation reste mystérieuse, puisqu’aucun de ses termes ne porte une signification physique connue, à l’image de la variable qu’elle gouverne.

Problèmes

  1. L’interaction avec un potentiel d’énergie-impulsion semble inhabituelle :

    1. Le potentiel apparaît directement, alors que seules ses dérivées devraient avoir un effet.

    2. On s’attendrait à voir (∇∧A)·v dans l’équation d’évolution de la vitesse.

    3. On s’attendrait à voir des termes en (∇∧A)·S et (∇∧A)×S dans l’équation d’évolution du spin.

    4. Le seul endroit où le potentiel d’énergie apparaît est dans l’équation d’évolution de la phase.

  2. La variable β n’a pas d’interprétation géométrique, ni physique.

Comparaison avec les équations de Madelung

Pour rappel, les équations de Madelung dans l’espace-temps sont :

On va essayer de voir, pour chaque morceau de l’équation de Dirac, s’il est compatible avec ces équations de Madelung dans l’espace-temps.

Pour commencer, on constate que l’équation de conservation de ρ est identique dans l’équation de Dirac et dans les équations de Madelung.

Ensuite, l’équation de Schrödinger est une équation pour une particule de spin uniforme et constant. Pour pouvoir comparer, on va donc supposer que Ṡ=0 dans l’équation de Dirac, ce qui nous donne :

0 = -(∇̇sp∧v̇ + (Isp·∇̇Sβ̇c))×S

Comme ∇̇sp∧v̇=0 dans les équations de Madelung, on va supposer que ∇̇Sβ̇=0 , ce qui nous donne :

0 = -(∇̇sp∧v̇)×S

Il nous reste donc à comparer

à

Comme ∇̇sp∧v̇=0 dans les équations de Madelung, on va supposer que rot(v)·S=0, ce qui achève de prendre en compte v∧∇̇∧(mv̇).

Il nous reste donc à comparer

à

On va maintenant supposer que (ℏ²/2mc²)(v∧∇ln(ρ)/2)² est une énergie cinétique mvQ²/2, avec donc mvQ=(ℏ/2)(v∧∇ln(ρ)/c). On s’aperçoit alors que mvQ pourrait être présent dans l’équation de Dirac sous la forme (∇lnρ)·S.

On va essayer de se débarasser de φ et β dans la version Dirac :

∂̇τ²φ̇ℏ/2 = -(c∂̇s)²(φ̇ℏ/2) + c∂̇s(P·sc) - ∂̇τ(P·v) ⇔ (∂̇τ²+(c∂̇s)²)φ̇ℏ/2 = c∂̇s(P·sc) - ∂̇τ(P·v)

Proposition pour résoudre les problèmes d’interaction avec un potentiel d’énergie-impulsion

On va essayer de résoudre le problème de l’interaction avec un potentiel d’énergie-impulsion.

Pour alléger les expressions, on va supposer que S et β sont constants. On pourra réintroduire les termes Ṡ et β̇ ultérieurement.

On intègre d’abord l’équation d’évolution de la phase :

∂̇τφ̇ = (-rot(v)·S-P·v)/(ℏ/2)
φ = 0τ (-rot(v)·S-P·v)/(ℏ/2)

Puis on injecte φ dans l’équation d’évolution de la vitesse :

τv/c² = -grad(ρ)/ρ - (∇̇φ̇(ℏ/2)+P)·S-1
τv/c² = -grad(ρ)/ρ - (v-1(-rot(v)·S-P·v)+∇sp0τ(-rot(v)·S-P·v)dτ +P)·S-1
τv/c² = -grad(ρ)/ρ - (Psp + grad(∫0τ(rot(v)·S+P·v)dτ))·S-1 où Psp=P-v-1P·v

Or, on a :

(∇∧P)·v = ((v-1τ)∧P)·v+(∇sp∧P)·v = -∂τPsp -grad(P·v)

Ainsi, ∫((∇∧P)·v) ressemble à -Psp-grad(∫P·v).

De plus, la deuxième loi de Newton, généralisée à la relativité s’écrit :

τ(mv̇) = (∇∧A)·v
0 = -∂τ(mv̇) + (∇∧A)·v
0 = (∇̇∧(mv̇))·v + (∇∧A)·v
0 = (∇∧P)·v

Mais à première vue, l’équation d’évolution de la vitesse, déduite de l’équation de Dirac, ne semble pas compatible avec la deuxième loi de Newton, même à force d’approximations.

En revanche, elle ressemble à :

τv/c² = -grad(ρ)/ρ - grad(∫0τ(rot(v)·S)dτ)·S-1 +∫((∇∧P)·v)·S-1

Concentrons nous sur le terme ∫((∇∧P)·v). Cette équation ne nous dit pas du tout que (∇∧P)·v=0. Elle semble au contraire considérer que (∇∧P)·v peut être différent de zéro et elle intègre cette écart par rapport à la deuxième loi de Newton au court du temps. Puis, la vitesse est modifiée en fonction de cette erreur accumulée. On s’attend donc à ce que la vitesse soit modifiée pour corriger cette erreur, avec une échelle de temps suffisamment courte pour qu’on puisse en déduire que la deuxième loi de Newton est vérifiée à une échelle humaine. Mais au lieu de ça, cette erreur est projetée dans le plan de spin, puis tournée d’un quart de tour, toujours dans le plan de spin.

On pourrait donc modifier à nouveau l’équation comme cela :

τv/c² = -grad(ρ)/ρ - grad(∫0τ(rot(v)·S)dτ)·S-1 +∫((∇∧P)·v)/(ℏ/2)

Du coup, si ∫((∇∧P)·v)c²/(ℏ/2) = ε > 0, alors ce terme induit ∂τv > 0, ce qui réduit (∇∧P)·v = -∂τ(mv̇) + (∇∧A)·v, et on a une décroissance exponentielle de l’erreur ε.

Mais il est plus intéressant de rester plus proche de l’équation de Dirac en conservant la rotation d’un quart de tour dans le plan de spin :

τv/c² = -grad(ρ)/ρ - grad(∫0τ(rot(v)·S)dτ)·S-1 + S∫((∇∧P)·v)S-1/(ℏ/2)

Ainsi, la particule aurait un mouvement de translation circulaire dans le plan de spin, à une fréquence mc²/(ℏ/2), expliquant ainsi l’origine du spin. De plus, en moyenne sur une rotation complète, qui dure 2π(ℏ/2)/mc²=4e-21 secondes, la quantité de mouvement de ce mouvement supplémentaire est nulle, donc la deuxième loi de Newton reste vérifiée à une échelle humaine.

Si ce méchanisme est effectivement responsable du spin, l’électron doit avoir un moment cinétique de ℏ/2. À cette fréquence θ̇=mc²/(ℏ/2), en suivant un mouvement circulaire de rayon R, ça nous donne mR²θ̇=ℏ/2, soit une vitesse au carré (Rθ̇)²=(ℏ/2)θ̇/m=c², soit une vitesse Rθ̇=c. Donc l’électron doit se déplacer à la vitesse de la lumière.

Or, v=ψγ0ψ-1 est un vecteur temporel, pas un vecteur nul.

Interprétation de de Broglie-Bohm de la mécanique quantique relativiste

En relativité, le terme (ℏgrad(φ))²/2m+V devient mc²(1+ℏgrad(φ)/mc)1/2+V, qui correspond à γ0·P.

Par ailleurs, le potentiel quantique semble correspondre au terme grad(ρ)/ρ dans l’équation de Dirac puisqu’ils dépendent tous deux uniquement de ln(ρ). En effet, ∂²(ln(ρ))=∂((∂ρ)/ρ)=(∂²ρ)/ρ-(∂ρ)²/ρ², soit (∂²ρ)/ρ=∂²(ln(ρ))+(∂ln(ρ))².

Donc, on peut supposer que, dans l’équation de Dirac, les effets quantiques hors spin sont gouvernés par le “potentiel quantique” grad(ρ)/ρ, et que les effets classiques sont gouvernés par la phase quantique comme on l’a vu précédemment.

Les termes restants sont tous directement liés au spin et sont de bons candidats pour gouverner les effets quantiques liés au spin.


  1. Pour v, il est clair que (v̇v-1)·v=v̇. Pour S, ça demande un peu plus de calcul. On utilise aussi le fait que v̇v-1 et ṠS-1 sont tous les deux des bivecteurs.↩︎