L'espace-temps est un espace vectoriel de dimension 4. On peut donc en choisir une base orthogonale (γ0,γ1,γ2,γ3), où γ0 est un vecteur temporel, et γ1,γ2,γ3 sont des vecteurs spatiaux.
Dans l'espace-temps, on a vu qu'on ne mesure pas les distances de la même façon selon les directions temporelles, spatiales ou nulles.
On choisit donc γ0²=c² et γ1²=γ2²=γ3²=-1, de sortes que les distances mesurées dans des directions temporelles soient positives, et que les distances mesurées dans des directions spatiales soient négatives1. Ainsi, les vecteurs nuls représentent les directions nulles.
La norme de γ0 est la vitesse de la lumière, qui est le facteur de normalisation naturel entre le temps et l'espace. De plus, on a vu que les directions temporelles représentent des vitesses, c'est donc naturel que le vecteur de base γ0 soit homogène à une vitesse.
Un vecteur de l'espace-temps s'écrit donc a=Σaiγi. La coordonée a0 représente une distance dans la direction γ0 et est donc un temps, tandis que les coordonnées a1,2,3 représentent des distances dans les directions γ1,2,3 et sont donc en mètres.
En termes de géométrie, les vecteurs de base représentent des directions, tandis que les combinaisons linéaires de ces vecteurs de base représentent des translations. Cette distinction transparait dans les unités associées aux différents types de vecteurs de l'espace-temps :
(γ1,γ2,γ3) génèrent une sous-algèbre qui est l'algèbre géométrique G(ℝ3) de l'espace.
En tant qu'espace vectoriel, cette sous-algèbre est de dimension 23=8 et couvre donc exactement la moitié de l'algèbre géométrique de l'espace-temps. Elle a pour base (1, γ1,γ2,γ3, γ1∧γ2,γ2∧γ3,γ3∧γ1, γ1∧γ2∧γ3)
Les membres de cette sous-algèbre sont dits spatiaux.
L'autre moitié de l'algèbre géométrique de l'espace-temps est γ0∧G(ℝ3). Elle est donc elle aussi une représentation de G(ℝ3). Ses membres sont dits temporels car ils contiennent tous γ0.
Comme ces deux moitiés sont disjointes et complémentaires, on peut toujours décomposer un multivecteur en une composante spatiale et une composante temporelle.
Les transformations de Lorenz sont simplement les rotations de l'espace-temps dans des plans mixtes, qu'on peut représenter par leurs bivecteurs (temporels) ou leurs rotors.
Ce choix est arbitraire, et on aurait pu à la place choisir γ0²=-c² et γ1²=γ2²=γ2²=1.↩